【数学】勉強法

高校数学・単元紹介(数学ⅡB編)

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高校数学と大学入試

日本の高等学校(普通科)で学ぶ数学には、数学Ⅰ、数学A、数学Ⅱ、数学B、数学Ⅲに加えて数学活用があります。このうち大学入試では、主に数学活用と数学Bの確率分布と統計的な推測以外のところから、各大学が指定した範囲で問題が出題されます。ですので、多くの高等学校では理系でも数学活用と数学Bの確率分布と統計的な推測を除いた分野を学習することになります。

このページでは数学ⅡBの各単元の簡単な紹介と学習を進める上での注意点(事前に学んでおきたい単元等)を解説していきます。

数学ⅡBの概要

数学ⅡBの主要単元一覧
①方程式・式と証明
②図形と方程式
③三角関数
④指数関数・対数関数
⑤微分と積分
⑥数列
⑦ベクトル

数学ⅡBは以上の7つの単元と確率分布と統計的な推測から成っています。確率分布と統計的な推測についてはほとんどの学校で学習せず、大学入試にもあまり出ないため、以下では上記7つの単元について解説していきます。



 

①方程式・式と証明

概要

方程式・式と証明では整式の除法や恒等式、相加平均と相乗平均、複素数の概念、2次方程式の判別式、解と係数の関係、剰余の定理や因数定理などを学習します。数学ⅡB・数学Ⅲにおいて基礎となる概念や公式が登場するのでしっかり理解しておく必要があります。あまり難しい単元ではありません。

事前に学習を済ませておくべき単元

数学ⅡBの範囲で事前に学習が必要な単元はありません。数学Ⅰの数と式、集合と論理、2次関数が理解できていればOKです。

 

②図形と方程式

概要

図形と方程式では、座標平面における2直線の平行や垂直、点と直線の距離、円の方程式と円と直線の位置関係、円の接線の方程式、軌跡、通過領域などを学びます。難関国公立大の2次試験で数学Ⅲの微積分等と融合して出題されるテーマです。苦手としている人が多い単元ですが、この単元を理解できているかどうかが、難関大の問題を解く際にかなり効いてきます。

事前に学習を済ませておくべき単元

事前に学習しておくべき単元は、数学ⅠAの数と式、2次関数、数学ⅡBの方程式・式と証明です。また、必須というわけではないですが、数学ⅠAの図形と計量や図形の性質を勉強していると、より理解しやすいでしょう。

 

③三角関数

概要

三角関数では数学Ⅰで扱った三角比を一般角に拡張して三角関数として学習します。三角関数の合成や加法定理等重要な考え方や公式が登場します。数学Ⅲの極限や微積分では三角関数を題材としているものがかなり多いため、三角関数の扱いに慣れておくと数学Ⅲの学習がスムーズに進みます。

事前に学習を済ませておくべき単元

高校数学で事前に学習が必要な単元は数学ⅠAの数と式、2次関数、図形と計量です。図形と計量の直後に、数学ⅡBで最初の単元として学習する高校も多く見られますが、できれば数学Ⅱの方程式・式と証明をやっていると問題演習がよりスムーズに進みます。

 

④指数関数・対数関数

概要

指数関数・対数関数では、指数関数と対数関数の概念とその計算法を学びます。とにかく計算、数式処理がメインの単元なので、量をこなせば成績が上がる単元です。数学Ⅲの微積分等で題材としてよく取り上げられるので、計算や数式の取り扱い方に慣れておきましょう。

事前に学習を済ませておくべき単元

事前に学習しておく単元としては、数学ⅠAの数と式、2次関数、整数の性質です。対数関数の応用として桁数やn進法と絡む問題があるので整数の性質を学んだ後が良いでしょう。また、必須ではありませんが、数学Ⅱの方程式・式と証明をやっていると問題演習がよりスムーズに進むはずです。


 

⑤微分と積分

概要

数学Ⅱの微分と積分では、少しだけ極限の概念に触れた後、整式の微分・積分、関数の接線の方程式、関数で囲まれた部分の面積と積分の関係などを学習します。概念的にはそれほど難しくありませんが、慣れるまでは計算が大変です。微積分は数学Ⅲで詳しく扱うので、基礎となる考え方をしっかり取得しておきましょう。

事前に学習を済ませておくべき単元

数学ⅠAの数と式、2次関数、数学Ⅱの方程式・式と証明、図形と方程式の知識が必要になります。高校では後手になりがちな単元ですが、図形と方程式まで終わってしまえば学習できる単元なので速習を強くお勧めする単元の一つです。

 

⑥数列

概要

数列では等差数列、等比数列、階差数列、数列の和、漸化式、数学的帰納法などを学習します。数学Ⅲの極限に通ずるので、早めに学習したい単元です。また、難関大の2次試験で他の単元(場合の数と確率、整数、極限、微積等)と絡めて出題されることの多い単元なので、非常に重要な単元です。

事前に学習を済ませておくべき単元

数列を学習するために必ずやっておくべき単元は、数学ⅠAの数と式、数学Ⅱの方程式・式と証明です。場合の数と確率や整数の性質なども学習済みだとより理解しやすいですが、これらの知識は応用問題にならない限り無くても大丈夫です。

 

⑦ベクトル

概要

ベクトルではベクトルの概念、計算法、ベクトルを使った図形問題の解法等を学びます。国公立2次の入試問題で図形問題はよく出題されますが、ベクトルがうまくつかえるとアプローチ幅ができて大変便利です。また、数学Ⅲの複素数平面につながる考え方を多く学びます。

事前に学習を済ませておくべき単元

ベクトルを学ぶためには、数学ⅠAの2次関数、図形と計量、数学ⅡBの図形と方程式、三角関数の学習が不可欠です。また、数学ⅠAの図形の性質も学んでいると図形問題に対しての幾何的アプローチと比較しながら多角的に学ぶことができます。

以上で数学ⅡBの主要単元の簡単な紹介は終了です。学習を進める上で参考にしてください。



国公立大・難関私大志望者へ

他者に伝わる答案が書けないと合格できない

記述問題が中心の国公立大や難関私大は参考書をやっただけでは、入試本番で合格点をとることは、正直、厳しいです。参考書の紹介ページやルートのページでも書いていますが、答案作成の練習を徹底的にやる必要があります。どの考え方を使えばよいか割分かっていても、きちんとポイントを押さえた答案がかけなければ、高得点は望めません。

参考書等での学習がある程度進んだら、(きちんとしたレベルの)添削指導等で自身の答案を(きちんと指導ができる)他人に見てもらい、意見を貰いましょう。最終的に採点するのは、あなたではなく「他人」です。あなたの答案が、きちんと他者に伝わるかを添削指導を通して確認し、合格点の取れるレベルに仕上げていきましょう。

標準レベルの参考書の1冊目の1周目を終えたら添削指導も同時進行で!

添削指導等の記述対策を始める目安ですが、標準レベルの参考書の1冊目の1周目を終えたタイミングで始めると良いでしょう。答案作成力の養成は、標準レベルの問題がある程度解けるようになったその上の段階にあたります。標準問題の解法が入っていない状態では、添削問題に向き合っても、白紙解答や見当違いの答案しか作れない場合が多く、結局、解法を学ぶように指導されるのがオチです。こうなると効率的ではありません。なので、少なくとも標準レベルの参考書を1冊を一通りやってからやりましょう。

高校や予備校等で(きちんとしたレベルの)添削指導があれば、それらを活用するとよいでしょう。もし、それらがない場合は、Z会の添削指導がおすすめです。Z会というと東大や京大等の難関国公立大対策の添削指導が有名ですが、一般的な国公立大や難関私立志望者向けのコースもあります。合格できる答案を作れるよう頑張ってください。



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