【数学】勉強法

高校数学・単元紹介(数学Ⅲ編)

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高校数学と大学入試

日本の高等学校(普通科)で学ぶ数学には、数学Ⅰ、数学A、数学Ⅱ、数学B、数学Ⅲに加えて数学活用があります。このうち大学入試では、主に数学活用と数学Bの確率分布と統計的な推測以外のところから、各大学が指定した範囲で問題が出題されます。ですので、多くの高等学校では理系でも数学活用と数学Bの確率分布と統計的な推測を除いた分野を学習することになります。

このページでは数学Ⅲの各単元の簡単な紹介と学習を進める上での注意点(事前に学んでおきたい単元等)を解説していきます。

数学Ⅲの概要

数学Ⅲの単元一覧
①平面上の曲線
②複素数平面
③関数と極限
④微分
⑤微分の応用
⑥積分とその応用

数学Ⅲは以上の6つの単元から成っています。このページでは、上記6つの単元について解説していきます。



 

①平面上の曲線

概要

平面上の曲線では放物線や楕円、双曲線といった2次曲線や媒介変数表示、極座標等を学びます。この分野は数学Ⅲの微積分と絡めて難関大の2次試験で出題されます。特に、微積分だけでやろうとすると、計算量が膨大になるが、この単元で学習した知識を使うとスマートに解ける問題が散見されます。知っておくと武器になる単元です。

事前に学習を済ませておくべき単元

数学Ⅰの2次関数、数学Ⅱの図形と方程式、三角関数の学習を済ませておきましょう。三角関数は媒介変数表示で知識が必要になります。

 

②複素数平面

概要

複素数平面では、複素数平面(ガウス平面)や複素数の絶対値の概念、複素数の極形式、回転移動(変換の概念)、ド・モアブルの定理、複素数平面上の軌跡・通過領域などを学びます。高校数学の全単元の中で、概念を理解するのが最も難しい単元です。作問者・出題者の視点では、難問、奇問を作ろうと思えば、簡単につくれる単元です。しかし、現状は難関大の2次試験でも難問はほとんど出ておらず、しっかり標準レベルまで学習していれば解ける問題がほとんどです。この状況が続くのなら、安定して得点できる分野になるはずです。

事前に学習を済ませておくべき単元

事前にやっておくべき単元は、数学ⅡBの方程式・式と証明、図形と方程式、三角関数、ベクトルと数学Ⅲの平面上の曲線です。複素数の概念はもちろんのこと、ベクトルの概念がしっかりわかってないとかなりきついです。教座標編面を学ばずとも、極限や微積分は学習できるので最後に学習してもOKな単元です。

 

③関数と極限

概要

関数と極限では、合成関数や逆関数の概念、数列の極限、無限級数、関数の極限、中間値の定理などについて学びます。極限は微分の定義や積分の区分求積法等、微積分の理解の基礎となる単元です。数Ⅱの微積分で少しだけ触れますが、本格的に学ぶのは数学Ⅲのこの単元です。大学入試では数列と絡めての出題がきわめて多いです。

事前に学習を済ませておくべき単元

高校数学で事前に学習が必要な単元は数学ⅡBの指数関数・対数関数、三角関数、数列です。三角関数や対数関数を題材として扱うことが多いので。この2つについては数式の扱いに慣れておかないときついと思います。また、少し難しい問題までやる場合、序盤は極限よりも数列の問題である場合も多いので数列の問題を解きなれておくとよいでしょう。

 

④微分

概要

数学Ⅲの微分では、微分の定義、三角関数や指数関数、対数関数の微分、積、商の微分、合成関数の微分法、対数微分法などを学びます。この分野は数学Ⅲの微分の応用や積分につながります。

事前に学習を済ませておくべき単元

事前に学習しておく単元としては、数学Ⅱの図形と方程式、三角関数、指数関数・対数関数、数学Ⅲの関数と極限です。計算が主になり、三角関数など種々の関数の扱いに慣れていないとかなり苦戦します。


 

⑤微分の応用

概要

微分の応用では様々な関数のグラフや最大値・最小値、極値の議論、グラフを利用した方程式や不等式の議論、速度や加速度の議論、平均値の定理等を学びます。積分と並び数学Ⅲの花形のような単元です。数Ⅲを範囲に含む入試においては必ずと言っていいほど出題されます。また、題材としてほぼほぼ三角関数か指数関数・対数関数が絡み、計算もたいへなことが少なくありません。

事前に学習を済ませておくべき単元

関数・方程式・不等式に関する総まとめ的な単元なのて、数学Ⅱの方程式・式と証明、図形と方程式、三角関数、指数関数・対数関数、微積分、数学Ⅲの平面上の曲線、関数と極限、微分等ほとんどの単元の知識が必要になります。

 

⑥積分とその応用

概要

数学Ⅲの積分とその応用では三角関数や指数関数・対数関数などの様々な関数の積分や合成関数の積分、部分積分、置換積分、区分求積法などの積分の基本知識に加え、立体の体積、回転体の体積、道のりの議論、そして微分方程式とその応用など積分の多岐にわたる応用について学びます。微分の応用と並び、理系数学の花形単元です。

事前に学習を済ませておくべき単元

学習を始める前に事前にやっておくべき単元は、数学Ⅱの方程式・式と証明、図形と方程式、三角関数、指数関数・対数関数、微積分、数学Bの数列、数学Ⅲの平面上の曲線、関数と極限、微分、微分の応用です。数学Ⅲの単元の知識も多く必要になるため、多くの高校で複素数平面か積分とその応用が最後に学ぶ単元となります。

以上で数学ⅡBの主要単元の簡単な紹介は終了です。学習を進める上で参考にしてください。



国公立大・難関私大志望者へ

他者に伝わる答案が書けないと合格できない

記述問題が中心の国公立大や難関私大は参考書をやっただけでは、入試本番で合格点をとることは、正直、厳しいです。参考書の紹介ページやルートのページでも書いていますが、答案作成の練習を徹底的にやる必要があります。どの考え方を使えばよいか割分かっていても、きちんとポイントを押さえた答案がかけなければ、高得点は望めません。

参考書等での学習がある程度進んだら、(きちんとしたレベルの)添削指導等で自身の答案を(きちんと指導ができる)他人に見てもらい、意見を貰いましょう。最終的に採点するのは、あなたではなく「他人」です。あなたの答案が、きちんと他者に伝わるかを添削指導を通して確認し、合格点の取れるレベルに仕上げていきましょう。

標準レベルの参考書の1冊目の1周目を終えたら添削指導も同時進行で!

添削指導等の記述対策を始める目安ですが、標準レベルの参考書の1冊目の1周目を終えたタイミングで始めると良いでしょう。答案作成力の養成は、標準レベルの問題がある程度解けるようになったその上の段階にあたります。標準問題の解法が入っていない状態では、添削問題に向き合っても、白紙解答や見当違いの答案しか作れない場合が多く、結局、解法を学ぶように指導されるのがオチです。こうなると効率的ではありません。なので、少なくとも標準レベルの参考書を1冊を一通りやってからやりましょう。

高校や予備校等で(きちんとしたレベルの)添削指導があれば、それらを活用するとよいでしょう。もし、それらがない場合は、Z会の添削指導がおすすめです。Z会というと東大や京大等の難関国公立大対策の添削指導が有名ですが、一般的な国公立大や難関私立志望者向けのコースもあります。合格できる答案を作れるよう頑張ってください。



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